用计算机计算圆周率
【课标要求】
掌握一种程序设计语言的基本知识，使用程序设计语言实现简单算法。通过解决实际问题，体验程序设计的基本流程，感受算法的效率，掌握程序调试与运行的方法。
【教学目标】
1、理解用for循环、while循环进行数值计算，培养学生计算思维
2、编程实现两种计算圆周率的算法，探究程序控制过程。
3、对比不同程序，感受不同算法的效率。
4、通过几种求PI方法研究激发学生科学研究的兴趣。
【重点与难点】
教学重点： 理解蒙特卡罗法、欧拉公式法求解圆周率原理及程序实现
教学难点： 了解英国天文学教授约翰·马青公式法求解圆周率
【核心教学内容】
1、分析不同方法中公式计算中重复操作，引入适当循环结构进行控制。
2、分析不同方法收敛精确值的速度，产生计算误差原因等。
【学情分析】
学生通过上三节课的学习，初步了解for、while循环格式及功能(执行过程)，同时他们通过一些实际例子，能从问题本身出发，发现循环结构，并分析用哪一种语句进行程序控制循环程序设计。本节通过几种圆周率计算过程，进一步巩固循环结构程序的应用，体验循环结构程序带来强大的计算能力。
【教学方法及手段】
方法：应用问题分析法，引导学生分析问题，发现问题中包含的重复运算（循环），进而选择某种语句实现循环控制。
手段：充分利用希沃大屏幕或触摸屏交互功能，引导学生从公式出发，发现公式中的循环结构，并将算法描述出来。
【教学过程】
第1课时
教学环节 | 教师活动 | 学生活动 |
导入新课 （3分钟） | 01圆周率的由来 圆周率π是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 古今中外，一代代数学家为探求圆周率的值贡献出了自己的智慧和辛劳。魏晋时期的刘徽(图3-25)在公元263年提出了著名的割圆术,得出π≈3.14。南北朝时期的祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的圆周率值，这一成就在世界上领先了一千多年。 计算机发明之后，人们开始借助计算机来计算圆周率，并为之设计了许多算法。随着计算机性能的快速提升，计算机计算出的圆周率精确位数不断被刷新。 2019年3月14日，日本裔女程序员埃玛在谷歌云平台计算引擎的帮助下完成圆周率小数点后31.4万亿位的计算。 本节我们将体验几种用不同方法利用计算机计算圆周率。 | 倾听 |
02 蒙特卡罗法求圆周率（5分钟） | 蒙特卡罗法： 随机投点法是通过在正方形内随机投点，用随机模拟的方法来估算圆周率。 设hits为落在扇形内的豆子数，总豆子数为darts,则： hits/darts=s扇形/s正=1/4*pi*r*r/(r*r)=pi/4. pi=4*hits/darts 算法描述： hits=0 输入darts for i in range(darts): 随机产生两个 [0,1)之间小数x,y #表示投点的位置坐标 if sqrt(x*x+y*y)<1: #投点落在扇形内 hits=hits+1 输出4*hits/darts
| 观看、思考、讨论、回答。 |
02 活动1：体验“蒙特卡罗 (学生).py”程序 （5分钟） | 在spyder下打开并运行桌面上“下发文件夹”中的“蒙特卡罗(学生).py”程序，并输入不同投点数量，观察程序运行结果与时间。 思考： 1. 精确度与投点的数量值是否有关系？ 2. 同样的投点数量，多次运行结果一样吗？为什么？ 3. 1亿次投点得到几位PI的准确值？
| 学生实践 |
03设计算法实现欧拉公式计算PI （5分钟） | 数学家欧拉的公式： 算法： （1）计算s=1+1/(2^2)+1/(3^2)+…(求若干项，直到精度<eps） s=0 s=s+1/1 s=s+1/(2*2) …… s=s+1/(i*i) …… （2）pi=sqrt(6*s) （3）输出pi
| 观看、思考、讨论、回答。 |
03活动2：体验“欧拉公式(学生).py”程序 （5分钟） | 在spyder下打开并运行桌面上“下发文件夹”中的“欧拉公式(学生).py”程序，并输入不同精确度，观察程序运行结果与时间。 思考： 1.精确度与pi的值是否有关系？ 2.精确度能否无限小下去？ 3.计算的误差如何产生？
| 学生实践 |
04利用马青公式计算圆周率π的值到任意位 （10分） | 这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。可以证明马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。以下程序充分利用python中支持的大整数乘法与整除特点，能够很快得到指定位数精确值，实现简单。 | 观看、思考、讨论、回答。 |
04 活动3：马青公式法程序学习与体验（5分） | from __future__ import division import time time1=time.time() ################算法根据马青公式计算圆周率#################### number = int(input('请输入想要计算到小数点后的位数n:')) # 多计算10位，防止尾数取舍的影响 number1 = number+10 # 算到小数点后number1位 b = 10**number1 # 求含4/5的首项 x1 = b*4//5 # 求含1/239的首项 x2 = b// -239 # 求第一大项 he = x1+x2 #设置下面循环的终点，即共计算n项 number *= 2 #循环初值=3，末值2n,步长=2 for i in range(3,number,2): # 求每个含1/5的项及符号 x1 //= -25 # 求每个含1/239的项及符号 x2 //= -57121 # 求两项之和 x = (x1+x2) // i # 求总和 he += x # 求出π pai = he*4 #舍掉后十位 pai //= 10**10 ############ 输出圆周率π的值 paistring=str(pai) result=paistring[0]+str('.')+paistring[1:len(paistring)] print(result) time2=time.time() print(u'总共耗时：' + str(time2 - time1) + 's') | 学生实践 |
小结（2分） | 1、三种算法对比（不同算法效率、精度等各不相同） 2、发现公式中的重复计算部分，再利用循环语句来实现计算，这是数值计算的关键。 |
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课后作业：编程利用沃利斯公式计算PI
| P95页，编程利用数学家沃利斯(J.Wallis)的公式（如下），求PI。 算法： （1）计算: s=(2/1)*(2/3)*(4/3)*(4/5)*…(i+1)*(i+1)/(i*(i+2))*…(i=1,3,5,…） （2）pi=2*s （3）输出pi
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